CHAOS·IO

Markdown 示例：本站支持的写法都在这里

chaos — Mon, 26 Oct 2026 02:00:00 GMT

这是一篇示例文章（Markdown Example）：把本站支持的所有写法集中展示一遍。写新文章时可以对照本页，也可以直接复制这里的片段。

写在前面

文章的元信息写在文件顶部的 frontmatter 里，常用字段如下：

---
title: "文章标题" # 必填
description: "一句话摘要" # 必填，用于列表、RSS 与 meta
pubDatetime: 2026-10-26T10:00:00+08:00 # 必填
category: 算法 # 文章类型：题解 / 题目 / 算法
series: 动态规划入门 # 有先后顺序的一组文章
tags: [动态规划, 洛谷] # 来源、题号、所用算法……
measure: cjk # 栏宽口径，可省略（按正文自动判断）
toc: true # 右侧目录，默认开启
math: true # 加载公式样式，纯文字文章可设 false
draft: false # true 时不参与构建
---

标题

支持二到五级标题，二级标题会自动出现在右侧目录里。

三级标题

四级标题

五级标题

段落与行内元素

普通段落里可以混排各种行内元素：粗体、斜体、~~删除线~~、行内代码、高亮、Ctrl + C、H₂O 与 x²、HTML。

链接分两种：站外链接（自动带 ↗ 角标）与站内链接（保持普通下划线）。引用一篇文章可以直接写「洛谷 P1002」过河卒，也可以自定义文字「洛谷 P1002」过河卒，或者跳到本文的某个小节中文排版。

中文排版

中英混排时会自动在中英文之间留出间距：Astro 7 用 TypeScript 写了 3 个工具函数，Kaggle 数据集有 1.2 万条记录，复杂度是 $O(n \log n)$ ，常数是 1e-9。

引号用「」或”“都好看；破折号——比如这样——两端会自动对齐。全角标点（，。！？）后面的空隙也会被压掉，不会在行尾留下一个空格。

行首的「」会被收紧，段落之间的间距是 0.9em，段首缩进默认关闭（可以用 typography.paragraphIndent 打开）。

列表

无序列表：

第一项
第二项
- 嵌套的第二层
- 嵌套的第二层
第三项

有序列表：

读题
想思路
写代码
交题

任务列表：

写完题解
补上复杂度
等评测结果

引用

引用块常用来放题面信息或结论。

它可以包含多个段落。

嵌套引用：

外层引用

内层引用

提示块

五种类型都可以用，两种写法等价：

也可以用指令写法并自定义标题：

表格

GFM 表格，支持三种对齐方式：

左对齐	居中	右对齐	说明
`O(n)`	$O(n \log n)$	128 MB	时间复杂度 / 空间复杂度
洛谷	普及-	1s	来源、难度、限制

表格在窄屏可以横向滚动。

代码

行内代码用反引号：std::vector<int>。

代码块会自动显示语言标签，并且支持这些 meta：

```cpp title="main.cpp" {3-5} ins={7} del={8} showLineNumbers
// 你的代码
```

meta	作用
`title="main.cpp"`	顶栏显示文件名
`{3-5}`	高亮第 3–5 行
`ins={7}` / `del={8}`	标记新增 / 删除的行
`"关键字"`	高亮某个词
`collapse={1-4}`	折叠区段（可展开）
`showLineNumbers`	显示行号

带文件名与高亮行：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    // 读入 n
    int n;
    cin >> n;
    return 0;
}

标记新增与删除的行：

int main() {
    int n = 0;   // 新增
    // int m = 1;   // 删除
    cin >> n;
}

折叠区段（点击标题展开）：

7 行已折叠
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    // 这部分默认折叠
    return 0;
}

终端样式（bash / sh 自动使用终端外框）：

pnpm install
pnpm build

其他语言也一样：

def solve():
    n = int(input())
    print(n * 2)

const solve = (n) => n * 2;

公式

行内公式用 $…$ ： $e^{i\pi} + 1 = 0$ ，复杂度写成 $O(n \log n)$ 。

独立成行的公式用 $$…$$：

f(i, j) = \min_{k < j} \bigl\{ f(i-1, k) + w(k, j) \bigr\},\qquad f(0, j) = 0

公式在构建期渲染，不加载任何 JavaScript。

图表

Mermaid 图直接写在围栏里：

构建流程

Excalidraw 图用 .excalidraw 文件：

Markdown 到 HTML 的流程

图表在构建期渲染成内联 SVG，可以选中文字、可以被搜索；点击图上角的按钮还能全屏缩放查看。

图片

普通图片：

在图片标题里写 wide 可以让图片比正文栏更宽，写 full 则撑满整个视口：

本站的配色（宽图）

脚注

脚注用来放补充说明¹，引用处会自动编号²。

分割线

正文里用三个短横线就能插入一条分割线：

就这些

上面覆盖了本站支持的全部写法。写作时有任何拿不准的，参照本页即可。

脚注的内容渲染在文章末尾。 ↩
也可以有多个脚注。 ↩

「洛谷 P3385」负环复盘

chaos — Sat, 24 Oct 2026 12:00:00 GMT

题目：洛谷 P3385 【模板】负环 · 普及+

时空限制：1s / 128MB

这是一篇复盘，不是完整题解。题目本身很简单：给一张有向图，判断图中是否存在负环。

我卡住的地方

1. 队列里到底放什么

一开始我把“松弛成功的次数”当成判负环的依据，跑大数据直接 TLE。正确的做法是统计路径长度：维护 cnt[v]，表示当前到达 $v$ 的这条路径上有多少条边。

cnt[v] = cnt[u] + 1

只要存在一个点满足 $cnt[v] \ge n$ ，就说明这条路径上有重复的点，即存在负环。

2. 为什么不能用 `visited` 数组

SPFA 的 inQueue 只是“这个点现在在不在队列里”，跟负环判定没有直接关系。用它判负环会漏判或误判。

3. 环上权值和必须是负数

注意题目问的是负环而不是零环。正权环和零权环都不该判为有解。

最终代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Edge {
    int to, w;
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<Edge>> g(n + 1);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back({v, w});
    }

    // 所有点距离置 0 并全部入队，等价于超级源点连向所有点
    vector<int> dist(n + 1, 0), cnt(n + 1, 0);
    queue<int> q;
    vector<bool> inQueue(n + 1, true);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) q.push(i);

    bool hasNegativeCycle = false;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        inQueue[u] = false;

        for (auto [v, w] : g[u]) {
            if (dist[v] > dist[u] + w) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                cnt[v] = cnt[u] + 1;
                if (cnt[v] >= n) {
                    hasNegativeCycle = true;
                    break;
                }
                if (!inQueue[v]) {
                    q.push(v);
                    inQueue[v] = true;
                }
            }
        }
        if (hasNegativeCycle) break;
    }

    cout << (hasNegativeCycle ? "YES" : "NO") << '\n';
    return 0;
}

单调栈：从「柱状图中最大的矩形」说起

chaos — Wed, 21 Oct 2026 02:30:00 GMT

问题

给定一个柱状图的高度数组 $h$ ，求柱状图中能勾勒出的最大矩形面积。

暴力做法是枚举左右边界 $O(n^2)$ ，再用区间最小值算面积，还是 $O(n^3)$ 。我们想把复杂度压到 $O(n)$ 。

换一个问法

与其枚举区间，不如换个角度：枚举“谁是最低的那根柱子”。

如果第 $i$ 根柱子作为矩形里最低的柱子，那么矩形的左右边界分别是：

$L_i$ ：左边第一个严格小于 $h_i$ 的位置；
$R_i$ ：右边第一个严格小于 $h_i$ 的位置。

于是以 $i$ 为最低柱的最大矩形面积就是：

A_i = h_i \times (R_i - L_i - 1)

答案取 $\max A_i$ 。现在问题变成：怎么在线性时间内求出每个位置的左右第一个更小值？

单调栈

维护一个栈，栈里存下标，对应的高度单调递增（栈底到栈顶）。从左往右扫描：

单调栈的入栈与出栈

对每个位置 $i$ ：

当栈非空且 $h[\text{栈顶}] \ge h_i$ 时，弹出栈顶 $j$ 。此时 $i$ 就是 $j$ 的右边界（第一个更小的位置）。
弹完后若栈还非空，栈顶就是 $j$ 的左边界；若栈空，说明 $j$ 左边没有更小的， $L_j = -1$ 。
把 $i$ 入栈。

每个下标最多入栈一次、出栈一次，所以总复杂度是 $O(n)$ 。

复杂度

时间： $O(n)$ ，每个元素进出栈各一次。
空间： $O(n)$ 。

什么时候想到它

经验上，当题目出现下面这些信号时，可以往单调栈上想：

信号	例子
求“每个位置左右第一个更大/更小的元素”	每日温度、柱状图最大矩形
需要 O(n) 求出所有区间的最优值	接雨水、跳跃游戏 II
括号匹配、滑动窗口最值	表达式求值

关键词是 “第一个” 和 “连续区间”。如果题目问的是“任意区间”，那多半该往线段树或 ST 表上想。

「洛谷 P1002」过河卒

chaos — Sun, 18 Oct 2026 01:00:00 GMT

题目：洛谷 P1002 过河卒 · 普及-

时空限制：1s / 128MB

题意

给定一个 $A \times B$ 的棋盘，棋子从左下角出发走到右上角，只能向右或向上走，每一步走一格。棋盘上有若干个“卒”的位置不能经过，求路径总数。

数据范围： $1 \le A, B \le 400$ ， $0 \le$ 障碍数 $\le 200$ 。

思路

1. 先想清楚状态

从下往上、从左往右推格子。设 $f[i][j]$ 表示从起点走到 $(i,j)$ 的方案数，那么：

f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]

其中越界位置视为 $0$ 。障碍点的 $f$ 值为 $0$ 。

关键在于“到达”而不是“出发”：把状态定义成“到达某点的方案数”，转移就天然是“从左边或下面走来”，只需要两个邻居。

2. 处理障碍

障碍点不能被走到，所以直接令 $f[i][j] = 0$ 。注意不要写成“跳过这个点”——跳过意味着还能从别处到达它，语义就错了。

3. 空间压缩

转移只依赖上一行和当前行的左边，可以滚动成一维数组：

f[j] \leftarrow f[j] + f[j-1]

注意更新顺序： $j$ 必须从小到大枚举，这样 $f[j-1]$ 才是当前行已经更新过的值。写反成从大到小，就会退化成“同一条路走两遍”。

复杂度

时间： $O(AB)$
空间： $O(B)$ （滚动数组）

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int a, b;
    cin >> a >> b;

    // 障碍点：读到 (x, y) 表示第 x 行第 y 列
    int m;
    cin >> m;
    vector<vector<bool>> blocked(a + 1, vector<bool>(b + 1, false));
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        blocked[x][y] = true;
    }

    // 起点在左下角 (a, 1)，终点在右上角 (1, b)，这里按“到达”倒推
    vector<int> dp(b + 1, 0);
    for (int i = a; i >= 1; --i) {
        for (int j = 1; j <= b; ++j) {
            if (blocked[i][j]) {
                dp[j] = 0;
            } else if (i == a && j == 1) {
                dp[j] = 1;
            } else {
                dp[j] = (dp[j] + dp[j - 1]) % 100003;
            }
        }
    }
    cout << dp[b] << '\n';
    return 0;
}

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写在前面

标题

三级标题

四级标题

五级标题

段落与行内元素

中文排版

列表

引用

提示块

表格

代码

公式

图表

图片

脚注

分割线

就这些

Footnotes

「洛谷 P3385」负环复盘

我卡住的地方

1. 队列里到底放什么

2. 为什么不能用 visited 数组

3. 环上权值和必须是负数

最终代码

单调栈：从「柱状图中最大的矩形」说起

问题

换一个问法

单调栈

复杂度

什么时候想到它

「洛谷 P1002」过河卒

题意

思路

1. 先想清楚状态

2. 处理障碍

3. 空间压缩

复杂度

代码

2. 为什么不能用 `visited` 数组